(1 pontos) Sabendo que \( \frac{f^{\prime}(1)}{h^{\prime}(1)}=11 \) e \( h(x)=\sqrt{1+2 f(x)} \) Calcule o valor de \( f(1) \).

Para resolver o problema, vamos primeiramente calcular a derivada \( h'(x) \) utilizando a regra da cadeia. A função \( h(x) \) é definida como \( h(x)=\sqrt{1+2 f(x)} \). A derivada de \( h(x) \) em relação a \( x \) é: \[ h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+2f(x)}} \cdot (2f'(x)) = \frac{f'(x)}{\sqrt{1+2f(x)}} \] Agora, aplicamos a informação que temos para \( x = 1 \): \[ h'(1) = \frac{f'(1)}{\sqrt{1+2f(1)}} \] Dado que sabemos que \( \frac{f^{\prime}(1)}{h^{\prime}(1)}=11 \), podemos expressar isso substituindo \( h'(1) \): \[ \frac{f'(1)}{\frac{f'(1)}{\sqrt{1+2f(1)}}} = 11 \] Isso simplifica para: \[ \sqrt{1+2f(1)} = 11 \] Agora, elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz: \[ 1 + 2f(1) = 121 \] Subtraindo 1 de ambos os lados, obtemos: \[ 2f(1) = 120 \] Dividindo por 2, encontramos \( f(1) \): \[ f(1) = 60 \] Portanto, o valor de \( f(1) \) é \( 60 \).