\( 51 \quad y = \sqrt { \frac { 1 } { 8 } x - x ^ { 4 } } \)

Ecco la funzione data: \[ y = \sqrt{ \frac{1}{8}x - x^{4} } \] ### Dominio della Funzione Perché l'espressione all'interno della radice quadrata sia definita nei numeri reali, dobbiamo avere: \[ \frac{1}{8}x - x^{4} \geq 0 \] Risolviamo l'inequazione: \[ x^{4} \leq \frac{1}{8}x \] Portiamo tutti i termini a un lato: \[ x^{4} - \frac{1}{8}x \leq 0 \] Fattorizziamo: \[ x \left( x^{3} - \frac{1}{8} \right) \leq 0 \] Le soluzioni di questa inequazione si ottengono analizzando i segni dei fattori: 1. \( x = 0 \) 2. \( x^{3} - \frac{1}{8} = 0 \) → \( x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \) Quindi, dobbiamo considerare gli intervalli determinati da queste radici: - \( x < 0 \) - \( 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \) - \( x > \frac{1}{2} \) Analizzando i segni in ciascun intervallo, si trova che l'inequazione è soddisfatta per: \[ 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \] ### Grafico della Funzione La funzione \( y = \sqrt{ \frac{1}{8}x - x^{4} } \) è definita solo nell'intervallo \( 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \). Nel grafico, \( y \) sarà reale e non negativa solo in questo intervallo. La funzione inizierà da \( y = 0 \) quando \( x = 0 \), aumenterà fino a un valore massimo e poi tornerà a zero quando \( x = \frac{1}{2} \). ### Comportamento Asintotico Dato che la funzione è definita solo in un intervallo limitato, non presenta asintoti nel dominio reale. Tuttavia, all'estremità \( x = \frac{1}{2} \), la derivata si comporta in modo particolare, indicando un punto di massimo locale. ### Derivata della Funzione Per analizzare ulteriormente la funzione, possiamo calcolare la sua derivata: \[ y = \sqrt{ \frac{1}{8}x - x^{4} } \] Utilizzando la regola della catena: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{8}x - x^{4} \right)^{-\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{8} - 4x^{3} \right) \] La derivata ci permette di determinare i punti di massimo e minimo della funzione all'interno del dominio. ### Conclusione La funzione \( y = \sqrt{ \frac{1}{8}x - x^{4} } \) è definita per \( 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \) ed è continua e differenziabile all'interno di questo intervallo. Il grafico rappresenta una curva che parte da zero, raggiunge un massimo e torna a zero all'estremo superiore del dominio.