Qual é a definição da função arctangente?

Question

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A **função arctangente**, denotada por **arctan(x)** ou **tan⁻¹(x)**, é a função inversa da função tangente quando restrita ao intervalo apropriado para garantir que seja de fato invertível.

### Definição Matemática

Para todo número real **x**, a função arctangente retorna o ângulo **θ** (em radianos) tal que:

$$ \theta = \arctan(x) $$

onde:

$$ \tan(\theta) = x $$

### Intervalo de Definição

A função arctangente está definida para todos os números reais **x** ($$-\infty < x < \infty$$). O intervalo de valores possíveis para **θ** (a imagem da função) é:

$$ -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} $$

Isso significa que a arctangente mapeia qualquer número real para um ângulo cujo seno e cosseno são positivos ou negativos conforme necessário, mas sempre restrito ao intervalo mencionado para garantir a unicidade da função inversa.

### Propriedades da Arctangente

1. **Monotonicidade**: A função arctangente é estritamente crescente em todo o seu domínio.
2. **Assíntotas**:
   - Conforme $$ x \to \infty $$, $$ \arctan(x) \to \frac{\pi}{2} $$.
   - Conforme $$ x \to -\infty $$, $$ \arctan(x) \to -\frac{\pi}{2} $$.
3. **Derivada**:
   
   $$ \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2} $$

4. **Integração**:
   
   $$ \int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $$
   
   onde **C** é a constante de integração.

### Aplicações

A função arctangente é amplamente utilizada em diversas áreas, incluindo:

- **Geometria e Trigonometria**: Para determinar ângulos a partir das razões dos lados de um triângulo.
- **Cálculo**: Em integrais envolvendo frações quadráticas e em séries de Taylor.
- **Engenharia e Física**: Em análise de ondas, sinais e em sistemas de controle.

### Exemplo de Uso

Se $$ \tan(\theta) = 1 $$, então:

$$ \theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \text{ radianos} $$

Este exemplo demonstra que a arctangente retorna o ângulo cuja tangente é o número dado.
A **função arctangente**, ou **arctan(x)**, é a função inversa da tangente e retorna o ângulo cuja tangente é **x**. Ela está definida para todos os números reais e retorna ângulos entre $$-\frac{\pi}{2}$$ e $$\frac{\pi}{2}$$ radianos.

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