Encuentre el volumen del sólido resultante de revólver la región limitada por las curvas \( y=x^{2} \) y \( y=4 \) a través del eje X entre \( x= -2 \) y \( x= 2 \).

Para encontrar el volumen del sólido resultante de revolverse la región limitada por las curvas \( y=x^{2} \) y \( y=4 \) a través del eje X entre \( x=-2 \) y \( x=2 \), podemos utilizar la fórmula del volumen de un sólido de revolución. La fórmula para el volumen de un sólido de revolución es: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \] Donde: - \( V \) es el volumen del sólido. - \( \pi \) es la constante pi. - \( f(x) \) es la función que define la curva de revolución. - \( a \) y \( b \) son los límites de integración. En este caso, la función que define la curva de revolución es \( f(x) = 4 - x^2 \), ya que la curva \( y = 4 \) es la que se encuentra arriba y la curva \( y = x^2 \) es la que se encuentra abajo. Los límites de integración son \( x = -2 \) y \( x = 2 \). Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos: \[ V = \pi \int_{-2}^{2} (4 - x^2)^2 dx \] Ahora, podemos calcular el volumen del sólido. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\pi \times \int_{-2}^{2} \left(4-x^{2}\right)^{2} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\pi \times \frac{512}{15}\) - step2: Multiply: \(\frac{\pi \times 512}{15}\) - step3: Multiply: \(\frac{512\pi }{15}\) El volumen del sólido resultante de revolverse la región limitada por las curvas \( y=x^{2} \) y \( y=4 \) a través del eje X entre \( x=-2 \) y \( x=2 \) es \( \frac{512\pi}{15} \) unidades cúbicas.