-25:32 Dati i punti \( A(-3,2), B(3, k), C(h,-2), D(-2,4) \), determina \( h \) e \( k \) in modo che il quadrilatero \( A B C D \) sia un parallelogramma. Determina l'area di tale parallelo- gramma. \( [h=4, k=-4 ; \) Area \( =18] \)

Per determinare i valori di \( h \) e \( k \) affinché il quadrilatero \( ABCD \) sia un parallelogramma e calcolare la sua area, seguiamo i seguenti passaggi: ### 1. Proprietà di un Parallelogramma In un parallelogramma, le diagonali si bisecano a vicenda. Quindi, i punti medi delle diagonali \( AC \) e \( BD \) devono coincidere. ### 2. Calcolo dei Punti Medi - **Diagonale \( AC \):** - Punto medio di \( AC \): \[ M_{AC} = \left( \frac{A_x + C_x}{2}, \frac{A_y + C_y}{2} \right) = \left( \frac{-3 + h}{2}, \frac{2 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{h - 3}{2}, 0 \right) \] - **Diagonale \( BD \):** - Punto medio di \( BD \): \[ M_{BD} = \left( \frac{B_x + D_x}{2}, \frac{B_y + D_y}{2} \right) = \left( \frac{3 + (-2)}{2}, \frac{k + 4}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{k + 4}{2} \right) \] ### 3. Uguagliamento dei Punti Medi Poiché \( M_{AC} = M_{BD} \), uguagliamo le coordinate: \[ \frac{h - 3}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{e} \quad 0 = \frac{k + 4}{2} \] - **Per l'ascissa:** \[ \frac{h - 3}{2} = \frac{1}{2} \implies h - 3 = 1 \implies h = 4 \] - **Per l'ordinata:** \[ 0 = \frac{k + 4}{2} \implies k + 4 = 0 \implies k = -4 \] ### 4. Verifica Con \( h = 4 \) e \( k = -4 \), i punti diventano: \[ A(-3, 2), \quad B(3, -4), \quad C(4, -2), \quad D(-2, 4) \] Il quadrilatero \( ABCD \) soddisfa le proprietà di un parallelogramma. ### 5. Calcolo dell'Area del Parallelogramma L'area di un parallelogramma può essere calcolata utilizzando la formula determinante: \[ \text{Area} = | \vec{AB} \times \vec{AD} | \] Dove: \[ \vec{AB} = B - A = (3 - (-3), -4 - 2) = (6, -6) \] \[ \vec{AD} = D - A = (-2 - (-3), 4 - 2) = (1, 2) \] Il prodotto vettoriale in 2D (determinante) è: \[ \vec{AB} \times \vec{AD} = (6)(2) - (-6)(1) = 12 + 6 = 18 \] Quindi: \[ \text{Area} = |18| = 18 \] ### **Risultato Finale** \[ h = 4, \quad k = -4 ; \quad \text{Area} = 18 \]