9. Encontrar la solución de cada uno de los siguientes PVI. $$ \begin{array}{llll} ext { a) } x y^{\prime}+y=e^{x} & y(1)=2 & ext { b) }(x+1) y^{\prime}+y=\ln x & y(1)=10 \ ext { c) } y^{\prime}-y=2 e^{4 t} & y(0)=-3 & ext { d) } y^{\prime}+2 x y=x & y(0)=-2\end{array} $$

Question

9. Encontrar la solución de cada uno de los siguientes PVI. $$ \begin{array}{llll}	ext { a) } x y^{\prime}+y=e^{x} & y(1)=2 & 	ext { b) }(x+1) y^{\prime}+y=\ln x & y(1)=10 \ 	ext { c) } y^{\prime}-y=2 e^{4 t} & y(0)=-3 & 	ext { d) } y^{\prime}+2 x y=x & y(0)=-2\end{array} $$

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Vamos a resolver cada uno de los Problemas de Valores Iniciales (PVI) planteados:

---

### **a) $$ x y^{\prime} + y = e^{x} $$ con la condición inicial $$ y(1) = 2 $$**

**Paso 1: Reescribir la ecuación en forma estándar**

Dividimos toda la ecuución por $$ x $$ para obtener la forma estándar de una ecuación lineal:

$$
y^{\prime} + \frac{1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}
$$

**Paso 2: Determinar el factor integrante**

El factor integrante $$ \mu(x) $$ se encuentra mediante:

$$
\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x
$$

**Paso 3: Multiplicar la ecuación por el factor integrante**

Multiplicamos toda la ecuación por $$ \mu(x) = x $$:

$$
x y^{\prime} + y = e^{x}
$$

Observamos que el lado izquierdo es la derivada de $$ x y $$:

$$
\frac{d}{dx}(x y) = e^{x}
$$

**Paso 4: Integrar ambos lados**

Integrando:

$$
x y = \int e^{x} dx + C \implies x y = e^{x} + C
$$

**Paso 5: Despejar $$ y $$ y aplicar la condición inicial**

Despejamos $$ y $$:

$$
y = \frac{e^{x} + C}{x}
$$

Aplicamos la condición inicial $$ y(1) = 2 $$:

$$
2 = \frac{e^{1} + C}{1} \implies C = 2 - e
$$

**Solución particular:**

$$
y(x) = \frac{e^{x} + 2 - e}{x}
$$

---

### **b) $$ (x + 1) y^{\prime} + y = \ln x $$ con la condición inicial $$ y(1) = 10 $$**

**Paso 1: Reescribir la ecuación en forma estándar**

Dividimos toda la ecuación por $$ x + 1 $$:

$$
y^{\prime} + \frac{1}{x + 1} y = \frac{\ln x}{x + 1}
$$

**Paso 2: Determinar el factor integrante**

El factor integrante $$ \mu(x) $$ es:

$$
\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x + 1} dx} = e^{\ln(x + 1)} = x + 1
$$

**Paso 3: Multiplicar la ecuación por el factor integrante**

Multiplicamos toda la ecuación por $$ \mu(x) = x + 1 $$:

$$
(x + 1) y^{\prime} + y = \ln x
$$

El lado izquierdo es la derivada de $$ (x + 1) y $$:

$$
\frac{d}{dx}[(x + 1) y] = \ln x
$$

**Paso 4: Integrar ambos lados**

Integrando:

$$
(x + 1) y = \int \ln x \, dx + C
$$

Sabemos que:

$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - x
$$

Por lo tanto:

$$
(x + 1) y = x \ln x - x + C
$$

**Paso 5: Despejar $$ y $$ y aplicar la condición inicial**

Despejamos $$ y $$:

$$
y = \frac{x \ln x - x + C}{x + 1}
$$

Aplicamos la condición inicial $$ y(1) = 10 $$:

$$
10 = \frac{1 \cdot \ln 1 - 1 + C}{1 + 1} \implies 10 = \frac{0 - 1 + C}{2} \implies C = 21
$$

**Solución particular:**

$$
y(x) = \frac{x \ln x - x + 21}{x + 1}
$$

---

### **c) $$ y^{\prime} - y = 2 e^{4 t} $$ con la condición inicial $$ y(0) = -3 $$**

**Paso 1: Identificar la ecuación lineal**

La ecuación es de la forma:

$$
y^{\prime} + P(t) y = Q(t)
$$

donde $$ P(t) = -1 $$ y $$ Q(t) = 2 e^{4 t} $$.

**Paso 2: Determinar el factor integrante**

El factor integrante $$ \mu(t) $$ es:

$$
\mu(t) = e^{\int P(t) dt} = e^{\int -1 dt} = e^{-t}
$$

**Paso 3: Multiplicar la ecuación por el factor integrante**

Multiplicamos toda la ecuación por $$ \mu(t) = e^{-t} $$:

$$
e^{-t} y^{\prime} - e^{-t} y = 2 e^{4 t} e^{-t} \implies \frac{d}{dt}(e^{-t} y) = 2 e^{3 t}
$$

**Paso 4: Integrar ambos lados**

Integrando:

$$
e^{-t} y = \int 2 e^{3 t} dt + C = \frac{2}{3} e^{3 t} + C
$$

**Paso 5: Despejar $$ y $$ y aplicar la condición inicial**

Despejamos $$ y $$:

$$
y = e^{t} \left( \frac{2}{3} e^{3 t} + C \right) = \frac{2}{3} e^{4 t} + C e^{t}
$$

Aplicamos la condición inicial $$ y(0) = -3 $$:

$$
-3 = \frac{2}{3} e^{0} + C e^{0} \implies -3 = \frac{2}{3} + C \implies C = -\frac{11}{3}
$$

**Solución particular:**

$$
y(t) = \frac{2}{3} e^{4 t} - \frac{11}{3} e^{t}
$$

---

### **d) $$ y^{\prime} + 2 x y = x $$ con la condición inicial $$ y(0) = -2 $$**

**Paso 1: Reescribir la ecuación en forma estándar**

La ecuación ya está en forma estándar:

$$
y^{\prime} + 2x y = x
$$

**Paso 2: Determinar el factor integrante**

El factor integrante $$ \mu(x) $$ es:

$$
\mu(x) = e^{\int 2x dx} = e^{x^{2}}
$$

**Paso 3: Multiplicar la ecuación por el factor integrante**

Multiplicamos toda la ecuación por $$ \mu(x) = e^{x^{2}} $$:

$$
e^{x^{2}} y^{\prime} + 2x e^{x^{2}} y = x e^{x^{2}}
$$

El lado izquierdo es la derivada de $$ e^{x^{2}} y $$:

$$
\frac{d}{dx}(e^{x^{2}} y) = x e^{x^{2}}
$$

**Paso 4: Integrar ambos lados**

Integrando:

$$
e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} dx + C
$$

Para resolver la integral, usamos el cambio de variable $$ u = x^{2} $$, entonces $$ du = 2x dx $$, lo que implica que $$ \frac{1}{2} du = x dx $$:

$$
\int x e^{x^{2}} dx = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C
$$

Por lo tanto:

$$
e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C \implies y = \frac{1}{2} + C e^{-x^{2}}
$$

**Paso 5: Aplicar la condición inicial**

Aplicamos $$ y(0) = -2 $$:

$$
-2 = \frac{1}{2} + C e^{0} \implies C = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}
$$

**Solución particular:**

$$
y(x) = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} e^{-x^{2}}
$$

---

Estas son las soluciones particulares para cada uno de los Problemas de Valores Iniciales planteados.
a) $$ y(x) = \frac{e^{x} + 2 - e}{x} $$ b) $$ y(x) = \frac{x \ln x - x + 21}{x + 1} $$ c) $$ y(t) = \frac{2}{3} e^{4 t} - \frac{11}{3} e^{t} $$ d) $$ y(x) = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} e^{-x^{2}} $$

9. Encontrar la solución de cada uno de los siguientes PVI. \( \begin{array}{llll}\text { a) } x y^{\prime}+y=e^{x} & y(1)=2 & \text { b) }(x+1) y^{\prime}+y=\ln x & y(1)=10 \\ \text { c) } y^{\prime}-y=2 e^{4 t} & y(0)=-3 & \text { d) } y^{\prime}+2 x y=x & y(0)=-2\end{array} \)

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