$$ y=\sqrt{x^{3}-x} \quad $$ CALCOUAII DOMINIO

Question

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Per determinare il dominio della funzione $$ y = \sqrt{x^{3} - x} $$, dobbiamo trovare tutti i valori di $$ x $$ per cui l'espressione all'interno della radice quadrata è maggiore o uguale a zero, poiché la radice quadrata di un numero negativo non è definita nei numeri reali.

### Passaggi:

1. **Condizione di esistenza:**
   $$
   x^{3} - x \geq 0
   $$

2. **Fattorizzazione:**
   $$
   x(x^{2} - 1) \geq 0 \
   x(x - 1)(x + 1) \geq 0
   $$

3. **Trovare i punti critici:**
   Gli zeri dell'equazione $$ x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ sono $$ x = -1 $$, $$ x = 0 $$ e $$ x = 1 $$.

4. **Analisi del segno:**
   Dividiamo la retta reale nei seguenti intervalli e determiniamo il segno dell'espressione in ciascun intervallo:
   
   - **Intervallo 1:** $$ x < -1 $$
     $$
     (-) \times (-) \times (+) = + 
     $$
     Ma poiché $$ x < -1 $$, il prodotto risulta negativo.
   
   - **Intervallo 2:** $$ -1 < x < 0 $$
     $$
     (-) \times (+) \times (+) = - 
     $$
     Prodotto negativo.
   
   - **Intervallo 3:** $$ 0 < x < 1 $$
     $$
     (+) \times (-) \times (+) = - 
     $$
     Prodotto negativo.
   
   - **Intervallo 4:** $$ x > 1 $$
     $$
     (+) \times (+) \times (+) = + 
     $$
     Prodotto positivo.

5. **Includere i punti critici:**
   Verifichiamo i punti critici:
   $$
   \text{Per } x = -1: (-1)^3 - (-1) = -1 + 1 = 0 \quad (\text{valido}) \
   \text{Per } x = 0: 0^3 - 0 = 0 \quad (\text{valido}) \
   \text{Per } x = 1: 1^3 - 1 = 0 \quad (\text{valido})
   $$

### Dominio della funzione:

Unendo i risultati dell'analisi, otteniamo:

$$
\text{Dominio} = [-1, 0] \cup [1, +\infty)
$$

### In sintesi:

Il dominio della funzione $$ y = \sqrt{x^{3} - x} $$ è l'insieme dei numeri reali $$ x $$ tali che:

$$
x \in [-1, 0] \cup [1, +\infty)
$$
Il dominio della funzione $$ y = \sqrt{x^{3} - x} $$ è $$ x $$ compreso tra -1 e 0, inclusi, e da 1 all'infinito.

\( y=\sqrt{x^{3}-x} \quad \) CALCOUAII DOMINIO

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