Gegeben ist die Ebene \( E: 8 x_{1}+6 x_{3}=48 \). Bestimme die Gleichung einer Ebene \( F \), die parallel zu E ist und den Abstand \( d=20 \) zU E hat. F:

Um eine Ebene \( F \) zu bestimmen, die parallel zur Ebene \( E: 8x_{1} + 6x_{3} = 48 \) ist und einen Abstand \( d = 20 \) zu \( E \) hat, gehen wir wie folgt vor: 1. **Parallele Ebenen haben denselben Normalenvektor:** Der Normalenvektor von \( E \) ist \( \mathbf{n} = (8, 0, 6) \). Daher hat auch \( F \) den Normalenvektor \( (8, 0, 6) \). 2. **Allgemeine Form der parallelen Ebene \( F \):** \[ 8x_{1} + 6x_{3} = D \] Hierbei ist \( D \) eine Konstante, die noch bestimmt werden muss. 3. **Berechnung des Abstands zwischen den Ebenen:** Der Abstand \( d \) zwischen den parallelen Ebenen \( E: 8x_{1} + 6x_{3} = 48 \) und \( F: 8x_{1} + 6x_{3} = D \) wird durch die Formel gegeben: \[ d = \frac{|D - 48|}{\|\mathbf{n}\|} = \frac{|D - 48|}{\sqrt{8^2 + 0^2 + 6^2}} = \frac{|D - 48|}{10} \] Gegeben ist \( d = 20 \), also: \[ \frac{|D - 48|}{10} = 20 \quad \Rightarrow \quad |D - 48| = 200 \] Daraus ergeben sich zwei Möglichkeiten: \[ D = 48 + 200 = 248 \quad \text{oder} \quad D = 48 - 200 = -152 \] 4. **Endgültige Gleichungen der Ebene \( F \):** \[ F: 8x_{1} + 6x_{3} = 248 \quad \text{oder} \quad 8x_{1} + 6x_{3} = -152 \] **Antwort:** Eine mögliche Ebene F ist gegeben durch  8 x₁ + 6 x₃ = 248 oder durch  8 x₁ + 6 x₃ = –152.