$$ \sin x - \cos x = 1 \quad | \cdot \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Решим уравнение:

$$
\sin x - \cos x = 1
$$

Для упрощения воспользуемся умножением обеих частей уравнения на $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$:

$$
\left( \sin x - \cos x \right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

Левая часть преобразуется с использованием формулы преобразования разности синуса и косинуса:

$$
\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)
$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$
\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

Теперь найдём решения этого уравнения. Мы знаем, что $$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ имеет решения:

$$
\theta = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad \theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$

Подставляя $$\theta = x - \frac{\pi}{4}$$, получаем:

$$
x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
$$
$$
x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \pi + 2\pi n
$$

Таким образом, общее решение уравнения:

$$
x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
$$
Решения уравнения $$ \sin x - \cos x = 1 $$ являются: $$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Bonus Knowledge

preguntas relacionadas

Latest Trigonometry Questions