4. Explica por qué cada una de las siguientes expre siones no es una identidad. a. $$ \left( an ^{2} heta+1 ight)^{2}= an ^{4} heta+1 $$ b. $$ \operatorname{sen} heta \sec heta+1=2 \operatorname{sen} heta+\sec heta $$ c. $$ \cos heta(\sec heta-\cos heta)=\cos ^{2} heta $$ d. $$ \operatorname{sen}^{2} heta-\cos ^{2} heta=2 $$

Question

4. Explica por qué cada una de las siguientes expre siones no es una identidad. a. $$ \left(	an ^{2} 	heta+1ight)^{2}=	an ^{4} 	heta+1 $$ b. $$ \operatorname{sen} 	heta \sec 	heta+1=2 \operatorname{sen} 	heta+\sec 	heta $$ c. $$ \cos 	heta(\sec 	heta-\cos 	heta)=\cos ^{2} 	heta $$ d. $$ \operatorname{sen}^{2} 	heta-\cos ^{2} 	heta=2 $$

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Para $$ \left(\tan ^{2}\theta+1\right)^2=\tan ^{4}\theta+1 $$:

- Se recuerda que al elevar al cuadrado una suma se obtiene:
     $$
     \left(\tan^2\theta+1\right)^2=\tan^4\theta+2\tan^2\theta+1.
     $$
   - Claramente, $$ \tan^4\theta+2\tan^2\theta+1$$ es distinto de $$ \tan ^{4}\theta+1$$ a menos que $$2\tan^2\theta=0$$, lo que ocurre solo cuando $$\tan\theta=0$$.  
   - Por ello, la igualdad no se cumple para todos los ángulos.

2. Para $$ \operatorname{sen}\theta \sec\theta+1=2\operatorname{sen}\theta+\sec\theta $$:

- Se observa que:
     $$
     \operatorname{sen}\theta \sec\theta=\operatorname{sen}\theta\cdot\frac{1}{\cos\theta}=\tan\theta.
     $$
   - Así, la ecuación se convierte en:
     $$
     \tan\theta+1=2\operatorname{sen}\theta+\sec\theta.
     $$
   - Esta igualdad no se verifica en general. Por ejemplo, para $$\theta=\frac{\pi}{4}$$:
     - Lado izquierdo: $$\tan\frac{\pi}{4}+1=1+1=2$$.
     - Lado derecho: $$2\operatorname{sen}\frac{\pi}{4}+\sec\frac{\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$, que es distinto de 2.
   - Por lo tanto, la igualdad no es una identidad.

3. Para $$ \cos\theta(\sec\theta-\cos\theta)=\cos^2\theta $$:

- Simplificamos el lado izquierdo:
     $$
     \cos\theta\sec\theta-\cos^2\theta=1-\cos^2\theta,
     $$
     ya que $$\cos\theta\sec\theta=1$$.
   - Entonces, la ecuación es:
     $$
     1-\cos^2\theta=\cos^2\theta.
     $$
   - Esto implica:
     $$
     1=2\cos^2\theta\quad\Longrightarrow\quad\cos^2\theta=\frac{1}{2}.
     $$
   - La identidad se cumple solo para ángulos específicos donde $$\cos^2\theta=\frac{1}{2}$$, no para todos los $$\theta$$.

4. Para $$ \operatorname{sen}^{2}\theta-\cos^{2}\theta=2 $$:

- Se sabe que $$\operatorname{sen}^{2}\theta$$ y $$\cos^{2}\theta$$ toman valores entre 0 y 1.
   - La diferencia $$ \operatorname{sen}^{2}\theta-\cos^{2}\theta$$ oscila entre $$-1$$ y $$1$$ (por ejemplo, si $$\operatorname{sen}^{2}\theta=1$$ y $$\cos^{2}\theta=0$$, se tiene $$1-0=1$$; o si es al revés, se tiene $$0-1=-1$$).
   - Por ello, la igualdad $$ \operatorname{sen}^{2}\theta-\cos^{2}\theta=2$$ es imposible para cualquier valor real de $$\theta$$.

Cada una de las expresiones falla en ser una identidad porque las igualdades solo se cumplen en casos específicos o, en el último caso, no se cumplen para ningún valor de $$\theta$$.
Cada expresión no es una identidad porque solo se cumple en casos específicos o en ningún caso.

Explica por qué cada una de las siguientes expre
siones no es una identidad.
a.
b.
c.
d.

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Explica por qué cada una de las siguientes expre siones no es una identidad. a. b. c. d.