Aufgabe: (2 Punkte) Bestimme den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(5|2| 4) \) von der Ebene \( \mathrm{E}:-4 x_{1}+2 x_{2}-4 x_{3}=4 \). Gib einen weiteren Punkt Q an, der den gleichen Abstand zu E hat.

Um den Abstand eines Punktes P von einer Ebene E zu berechnen, kannst du die Formel verwenden: \[ \text{Abstand} = \frac{|a x_1 + b x_2 + c x_3 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Hierbei ist \( E: ax + by + cz + d = 0 \). Für die gegebene Ebene \( E: -4x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 4 \) können wir die Koeffizienten \( a = -4 \), \( b = 2 \), \( c = -4 \) und \( d = -4 \) (wir bringen die Gleichung in die Form \( = 0 \)) identifizieren. Setzen wir den Punkt \( P(5|2|4) \) ein: \[ \text{Abstand} = \frac{|-4 \cdot 5 + 2 \cdot 2 - 4 \cdot 4 - 4|}{\sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2}} = \frac{|-20 + 4 - 16 - 4|}{\sqrt{16 + 4 + 16}} = \frac{|-36|}{\sqrt{36}} = \frac{36}{6} = 6 \] Der Abstand des Punktes \( P(5|2|4) \) von der Ebene E beträgt also 6. Für einen weiteren Punkt \( Q \), der den gleichen Abstand hat, kannst du zum Beispiel den Punkt \( Q(5|2|10) \) wählen. Dieser Punkt hat ebenfalls den Abstand von 6 zur Ebene, da er einfach in der vertikalen Richtung (z-axis) um 6 Einheiten von P verschoben wurde, ohne die x- oder y-Koordinaten zu verändern.