Una masa de \( 6[\mathrm{~kg}] \) alarga \( 5[\mathrm{~cm}] \) un resorte. La masa se libera al inicio desde el reposo en un punto \( 2[\mathrm{~cm}] \) abajo de la posición de equilibrio, utilizando un valor de gravedad de \( 10\left[\frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}\right] \). - Determine el valor de la constante elástica del resorte \( \boldsymbol{k} \). \[ k= \] \( \square \) - Indique las condiciones iniciales del problema. Considere la variable \( x \) como la posición de la masa en cualquier instante \( t \). \[ \begin{array}{l} x^{\prime}(0)=\square\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{~s}}\right] \\ x(0)=\square[\mathrm{m}] \end{array} \] - Indique la ecuación diferencial del problema: \( \square \) \( x^{\prime \prime}+ \) \( \square \) \( x^{\prime}+ \) \( \square \) \( x= \) \( \square \) Tu respuesta fue interpretada como: \( x^{\prime \prime}+x^{\prime}+x= \) - Escriba el polinomio característico de la ecuación diferencial en función de \( r \) (use ^ para los exponentes): \( \square \) \[ =0 \] - Indique las raices de la ecuación característica (Ejemplo de escritura: \( \left\{r_{1}, r_{2}, \ldots r_{n}\right\} \) ): \( \square \) - Indique las soluciones de la ecuación diferencial (Ejemplo de escritura: \( \left\{x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right\} \) ): \( \square \) - En base a las condiciones iniciales calcule el valor de las constantes e indique la posición de la masa \( x \) para cualquier instante \( t \). \[ x(t)= \] \( \square \) - Encuentre la velocidad de la masa para cualquier tiempo \( t \). \[ v(t)= \] \( \square \) - Encuentre la aceleración de la masa en el tiempo \( t=\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}[s] \). \[ a\left(\frac{\pi}{2 \cdot \sqrt{3}}\right)= \] \( \square \)

Vamos a resolver el problema paso a paso. ### 1. Determinación de la constante elástica del resorte \( k \) La fuerza que actúa sobre la masa en equilibrio es igual al peso de la masa, que se puede expresar como: \[ F = m \cdot g \] Donde: - \( m = 6 \, \text{kg} \) - \( g = 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \) Calculamos la fuerza: \[ F = 6 \, \text{kg} \cdot 10 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 60 \, \text{N} \] La elongación del resorte en equilibrio es \( x_e = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m} \). Según la ley de Hooke, la fuerza es también igual a: \[ F = k \cdot x_e \] Igualando ambas expresiones: \[ 60 = k \cdot 0.05 \] Despejamos \( k \): \[ k = \frac{60}{0.05} = 1200 \, \text{N/m} \] Por lo tanto, el valor de la constante elástica del resorte es: \[ k = 1200 \, \text{N/m} \] ### 2. Condiciones iniciales del problema La masa se libera desde el reposo en un punto \( 2 \, \text{cm} \) abajo de la posición de equilibrio. Esto significa que la posición inicial \( x(0) \) es: \[ x(0) = -0.02 \, \text{m} \] La velocidad inicial \( x'(0) \) es cero porque se libera desde el reposo: \[ x'(0) = 0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \] ### 3. Ecuación diferencial del problema La ecuación diferencial para un oscilador armónico simple es: \[ m \cdot x'' + k \cdot x = 0 \] Sustituyendo \( m = 6 \) y \( k = 1200 \): \[ 6 \cdot x'' + 1200 \cdot x = 0 \] Dividiendo toda la ecuación por 6: \[ x'' + 200 \cdot x = 0 \] Por lo tanto, la ecuación diferencial es: \[ x'' + 0 \cdot x' + 200 \cdot x = 0 \] ### 4. Polinomio característico de la ecuación diferencial El polinomio característico se obtiene de la ecuación: \[ r^2 + 0 \cdot r + 200 = 0 \] Por lo tanto, el polinomio característico es: \[ r^2 + 200 = 0 \] ### 5. Raíces de la ecuación característica Resolviendo el polinomio: \[ r^2 = -200 \implies r = \pm i \sqrt{200} = \pm 10i \sqrt{2} \] Las raíces son: \[ \{ 10i \sqrt{2}, -10i \sqrt{2} \} \] ### 6. Soluciones de la ecuación diferencial Las soluciones de la ecuación diferencial son de la forma: \[ x(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t) \] Donde \( \omega = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \). Por lo tanto, la solución es: \[ x(t) = A \cos(10 \sqrt{2} t) + B \sin(10 \sqrt{2} t) \] ### 7. Cálculo de las constantes \( A \) y \( B \) Usamos las condiciones iniciales: 1. \( x(0) = -0.02 \): \[ x(0) = A \cos(0) + B \sin(0) \implies A = -0.02 \] 2. \( x'(0) = 0 \): Calculamos la derivada: \[ x'(t) = -A (10 \sqrt{2}) \sin(10 \sqrt{2} t) + B (10 \sqrt{2}) \cos(10 \sqrt{2} t) \] Evaluando en \( t = 0 \): \[ x'(0) = -A (10 \sqrt{2}) \sin(0) + B (10 \sqrt{2}) \cos(0) \implies B (10 \sqrt{2}) = 0 \implies B = 0 \] Por lo tanto, la posición de la masa para cualquier instante \( t \) es: \[ x(t) = -0.02 \cos(10 \sqrt{2} t) \] ### 8. Velocidad de la masa para cualquier tiempo \( t \) La velocidad es la derivada de la posición: \[ v(t) = x'(t) = -(-0.02)(10 \sqrt{2}) \sin(10 \sqrt{2} t) = 0.2 \sqrt{2} \sin(10 \sqrt{2} t) \] ### 9. Aceleración de la masa en el tiempo \( t = \frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \) La aceleración es la derivada de la velocidad: \[ a(t) = v'(t) = 0.2 \sqrt{2} (10 \sqrt{2}) \cos(10 \sqrt{2} t) = 4 \cdot 2 \cos(10 \sqrt{2} t) = 8 \cos(10 \sqrt{2} t) \] Ahora evaluamos en \( t = \frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \): \[ a\left(\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}\right) = 8 \cos\left(10 \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2 \sqrt{3}}\right) = 8 \cos\left(5\pi \sqrt{\frac{2}{3}}\right) \] Calculamos el valor de \( \cos\left(5\pi \sqrt{\frac{2}{3}}\right) \) para obtener el resultado final. Por lo tanto, los resultados son: \[ \begin{array}{l} k = 1200 \, \text{N/m} \\ x'(0) = 0 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \\ x(0) = -0.02 \, \text{m} \\ x'' + 0 \cdot x' +