Bapmamt 3 yравнения: a) \( x^{2}+3 x=0 \). 6) \( 5-x^{2}-x=0 \), E) \( x+3 x^{2}+5=0 \) 2. Permure y pannewry: a) \( x^{2}-1=0 \), 6) \( x^{2}-5 x=0 \) 3. Периметр пряиоутолвника равен 30 cv . Найдите длины сторон прямоу толвनпка, если ето площадв равна \( 36 \mathrm{~cm}^{2} \). 4. Pemите y parmerие \( \left(x^{2}-2 x+2\right)\left(x^{2}-2 x-1\right)=4 \). 5. Кории квадаратного уравнения \( x^{2}-4 x+p=0 \) удгв.летворяюот условиіо \( 2 x_{1}+3 x_{2}=5 \). Найдите значение \( p \).

### Задание 1. Решите уравнения: **a)** \( x^{2} + 3x = 0 \). **Решение:** \[ x(x + 3) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \] **Ответ:** \( x = 0 \), \( x = -3 \). --- **б)** \( 5 - x^{2} - x = 0 \). **Решение:** Приведём уравнение к стандартной форме: \[ -x^{2} - x + 5 = 0 \implies x^{2} + x - 5 = 0 \] Найдём дискриминант: \[ D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21 \] Найдём корни: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} \] **Ответ:** \( x = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \), \( x = \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \). --- **в)** \( x + 3x^{2} + 5 = 0 \). **Решение:** Приведём к стандартной форме: \[ 3x^{2} + x + 5 = 0 \] Найдём дискриминант: \[ D = 1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 1 - 60 = -59 \] Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет. **Ответ:** Решений нет в множестве действительных чисел. --- ### Задание 2. Решите уравнения: **a)** \( x^{2} - 1 = 0 \). **Решение:** \[ x^{2} = 1 \implies x = \pm 1 \] **Ответ:** \( x = 1 \), \( x = -1 \). --- **б)** \( x^{2} - 5x = 0 \). **Решение:** \[ x(x - 5) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 5 \] **Ответ:** \( x = 0 \), \( x = 5 \). --- ### Задание 3. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите длины сторон прямоугольника, если его площадь равна \( 36 \, \text{см}² \). **Решение:** Пусть стороны прямоугольника — \( a \) и \( b \). Дано: \[ 2(a + b) = 30 \implies a + b = 15 \] \[ a \cdot b = 36 \] Составим квадратное уравнение: \[ x^{2} - 15x + 36 = 0 \] Найдём дискриминант: \[ D = 225 - 144 = 81 \] Корни: \[ x = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{15 \pm 9}{2} \] \[ x = 12 \quad \text{или} \quad x = 3 \] **Ответ:** Страницы прямоугольника равны 12 см и 3 см. --- ### Задание 4. Решите уравнение \( \left(x^{2} - 2x + 2\right)\left(x^{2} - 2x - 1\right) = 4 \). **Решение:** Введём замену \( y = x^{2} - 2x \). Тогда уравнение преобразуется: \[ (y + 2)(y - 1) = 4 \] Разворачиваем: \[ y^{2} + y - 2 = 4 \implies y^{2} + y - 6 = 0 \] Найдём дискриминант: \[ D = 1 + 24 = 25 \] Корни: \[ y = \frac{-1 \pm 5}{2} \implies y = 2 \quad \text{или} \quad y = -3 \] Возвращаемся к \( x \): 1. Для \( y = 2 \): \[ x^{2} - 2x = 2 \implies x^{2} - 2x - 2 = 0 \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \] 2. Для \( y = -3 \): \[ x^{2} - 2x = -3 \implies x^{2} - 2x + 3 = 0 \] Дискриминант отрицательный, действительных корней нет. **Ответ:** \( x = 1 + \sqrt{3} \), \( x = 1 - \sqrt{3} \). --- ### Задание 5. Квадратного уравнения \( x^{2} - 4x + p = 0 \) удовлетворяют условию \( 2x_{1} + 3x_{2} = 5 \). Найдите значение \( p \). **Решение:** Пусть корни уравнения — \( x_{1} \) и \( x_{2} \). По теореме Виета: \[ x_{1} + x_{2} = 4 \] \[ x_{1}x_{2} = p \] Дано: \[ 2x_{1} + 3x_{2} = 5 \] Решим систему уравнений: \[ x_{1} + x_{2} = 4 \quad \text{(1)} \] \[ 2x_{1} + 3x_{2} = 5 \quad \text{(2)} \] Умножим уравнение (1) на 2: \[ 2x_{1} + 2x_{2} = 8 \quad \text{(3)} \] Вычтем уравнение (3) из уравнения (2): \[ (2x_{1} + 3x_{2}) - (2x_{1} + 2x_{2}) = 5 - 8 \] \[ x_{2} = -3 \] Подставим \( x_{2} = -3 \) в уравнение (1): \[ x_{1} = 4 - (-3) = 7 \] Тогда: \[ p = x_{1}x_{2} = 7 \cdot (-3) = -21 \] **Ответ:** \( p = -21 \).