Pregunta
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A simple model for the flow of air in and out of the lungs of a certain mammal is given by the following equation, where \( \mathrm{V}(\mathrm{t}) \) (measured in liters) is the volume of air in the lungs at time \( t \geq 0 \), \( t \) is measured in seconds, and \( \mathrm{t}=0 \) corresponds to a time at which the lungs are full and exhalation begins. Only a fraction of the air in the lungs is exchanged with each breath. The amount that is exchanged is called the tidal volume. Complete parts a through \( c \) below. \( V^{\prime}(t)=-\frac{\pi}{6} \sin \left(\frac{\pi t}{6}\right) \) a. Find the volume function V , assuming that \( \mathrm{V}(0)=6 \mathrm{~L} \). Notice that V changes over time at a known rate, \( \mathrm{V}^{\prime} \). Which equation below correctly gives the volume function? A. \( \mathrm{V}(0)=\mathrm{V}(\mathrm{t})+\int_{0}^{t} \mathrm{~V}^{\prime}(\mathrm{x}) \) dx. C . \( \mathrm{V}(\mathrm{t})=\mathrm{V}(0)+\int_{a} \mathrm{~V}^{\prime}(\mathrm{t}) \mathrm{dt} \). Find the volume function V , assuming that \( \mathrm{V}(0)=6 \mathrm{~L} \). \( \mathrm{V}(\mathrm{t})=5+\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right) \) (Type an exact answer.) b. What is the breathing rate in breaths/minute? The breathing rate is \( \square \) breaths/minute. (Type an integer or a simplified fraction.)

Ask by Willis Kirk. in the United States
Jan 23,2025

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Responder

The volume function is \( V(t) = 5 + \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \) and the breathing rate is 5 breaths per minute.

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Bonus Knowledge

Alright, let's dive into the fascinating world of respiratory mechanics! When we want to find the volume function \( V(t) \) from the given rate of change, \( V'(t) = -\frac{\pi}{6} \sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) \), we start by integrating this function to find \( V(t) \). Upon integrating and applying the initial condition \( V(0) = 6 \), we find that the volume function is \( V(t) = 5 + \cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) \). This gives us the air volume fluctuating as the mammal breathes in and out! Now, about that breathing rate: we know a full cycle of inhalation and exhalation happens over the period \( 12 \) seconds (the period of the cosine function is \( 12 \) due to the factor \( \frac{\pi}{6} \)). With \( 60 \) seconds in a minute, this mammal will complete \( \frac{60}{12} = 5 \) breaths per minute. So, the breathing rate is \( 5 \) breaths/minute! Breathing and math – an airy combination! 🌬️✨

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