e) $$ \operatorname{tg} \alpha=3, \alpha $$ enel $$ 3^{\circ} $$ cuadrante

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver el problema, primero identificamos las condiciones dadas:

1. $$ \tan \alpha = 3 $$
2. $$ \alpha $$ está en el tercer cuadrante.

Dado que la tangente es positiva en el tercer cuadrante, podemos proceder a encontrar el ángulo $$ \alpha $$.

### Paso 1: Encontrar el ángulo $$ \alpha $$

La tangente se define como la razón entre el seno y el coseno:

$$
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
$$

Dado que $$ \tan \alpha = 3 $$, podemos escribir:

$$
\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3
$$

Esto implica que:

$$
\sin \alpha = 3 \cos \alpha
$$

### Paso 2: Usar la identidad pitagórica

Sabemos que:

$$
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
$$

Sustituyendo $$ \sin \alpha $$:

$$
(3 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1
$$

Esto se simplifica a:

$$
9 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
$$

$$
10 \cos^2 \alpha = 1
$$

### Paso 3: Resolver para $$ \cos \alpha $$

Despejamos $$ \cos^2 \alpha $$:

$$
\cos^2 \alpha = \frac{1}{10}
$$

Por lo tanto:

$$
\cos \alpha = -\sqrt{\frac{1}{10}} \quad (\text{en el tercer cuadrante, el coseno es negativo})
$$

### Paso 4: Encontrar $$ \sin \alpha $$

Usamos la relación $$ \sin \alpha = 3 \cos \alpha $$:

$$
\sin \alpha = 3 \left(-\sqrt{\frac{1}{10}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{10}}
$$

### Paso 5: Determinar el ángulo $$ \alpha $$

Para encontrar el ángulo $$ \alpha $$, podemos usar la función inversa de la tangente:

$$
\alpha = \tan^{-1}(3)
$$

Sin embargo, dado que estamos en el tercer cuadrante, debemos ajustar el ángulo:

$$
\alpha = 180^\circ + \tan^{-1}(3)
$$

### Paso 6: Calcular el valor numérico

Ahora, calculamos $$ \tan^{-1}(3) $$ y luego sumamos $$ 180^\circ $$.

Voy a calcular $$ \tan^{-1}(3) $$ y luego sumar $$ 180^\circ $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\arctan\left(3\right)$$
Calculate or simplify the expression $$ 180 + 1.249046 * (180 / \pi) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$180+1.249046\times \frac{180}{\pi }$$
- step1: Multiply the numbers:
  $$180+\frac{5620707}{25000\pi }$$
- step2: Reduce fractions to a common denominator:
  $$\frac{180\times 25000\pi }{25000\pi }+\frac{5620707}{25000\pi }$$
- step3: Transform the expression:
  $$\frac{180\times 25000\pi +5620707}{25000\pi }$$
- step4: Multiply the terms:
  $$\frac{4500000\pi +5620707}{25000\pi }$$
### Paso 7: Calcular el ángulo $$ \alpha $$

Hemos encontrado que:

$$
\tan^{-1}(3) \approx 1.249046 \text{ radianes}
$$

Ahora, convertimos esto a grados y sumamos $$ 180^\circ $$:

$$
\alpha \approx 180^\circ + 1.249046 \times \left(\frac{180}{\pi}\right) \approx 251.57^\circ
$$

### Respuesta Final

El ángulo $$ \alpha $$ en el tercer cuadrante, donde $$ \tan \alpha = 3 $$, es aproximadamente:

$$
\alpha \approx 251.57^\circ
$$
$$ \alpha \approx 251.57^\circ $$

e) enel cuadrante

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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