a) \( \left(\frac{a^{2}}{2}-\frac{b^{3}}{3}\right)^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+2\left(\frac{a}{2}\right)\left(\frac{3}{3}\right)+(-)^{2} \) b) \( \left(\frac{-m^{3}}{5}+\frac{2 n}{3}\right)^{2}=\left(\frac{5}{5}\right)^{2}+2(-)(3)+(3)^{2} \) c) \( \left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{y^{2}}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+2(x)\left(\frac{2}{1}\right)+\left(\frac{2}{5}\right)^{2} \) d) \( \left(-\frac{1}{7} a^{-5}-\frac{b}{3}\right)^{2}=\left(4^{4}\right)^{2}+2(3)(3)+\left(\frac{1}{5}\right)^{2} \) e) \( \left(m^{3}-\frac{n}{2}\right)^{2}=\left(m^{3}\right)^{2}+2\left(m^{3}\right)(n)+(-n)^{2} \)

Se debe recordar que la identidad algebraica para el cuadrado de una diferencia es   (A – B)² = A² – 2AB + B². A continuación, se muestran las correcciones y desarrollos para cada inciso: ────────────────────────────── a) Sea A = a²/2 y B = b³/3. Entonces:   (A – B)² = (a²/2)² – 2·(a²/2)·(b³/3) + (b³/3)²        = a⁴/4 – (2 a² b³)/(2·3) + b⁶/9        = a⁴/4 – (a² b³)/3 + b⁶/9 ────────────────────────────── b) Sea A = –m³/5 y B = 2n/3. Entonces:   (A + B)² = (–m³/5)² + 2·(–m³/5)·(2n/3) + (2n/3)²        = m⁶/25 – [4 m³ n/(15)] + 4n²/9 ────────────────────────────── c) Sea A = 1/x² y B = 2/y². Entonces:   (A – B)² = (1/x²)² – 2·(1/x²)·(2/y²) + (2/y²)²        = 1/x⁴ – 4/(x² y²) + 4/y⁴ ────────────────────────────── d) Sea A = –a^(–5)/7 y B = b/3. Entonces:   (A – B)² = (–a^(–5)/7)² – 2·(–a^(–5)/7)·(b/3) + (b/3)²        = a^(–10)/49 + [2a^(–5)b/(21)] + b²/9   Nota: Observe que al tener dos signos “menos” en el término intermedio se obtiene “+”.   Si se desea escribir la forma con el signo negativo correspondiente a la fórmula (A – B)², se puede expresar así:     = a^(–10)/49 – 2·(a^(–5)/7)·(b/3) + b²/9   y, al realizar la multiplicación, se obtiene el signo “+” en el segundo término. ────────────────────────────── e) Sea A = m³ y B = n/2. Entonces:   (m³ – n/2)² = (m³)² – 2·m³·(n/2) + (n/2)²        = m⁶ – m³·n + n²/4 ────────────────────────────── Resumen en Español: a) (a²/2 – b³/3)² = a⁴/4 – (a² b³)/3 + b⁶/9 b) (–m³/5 + 2n/3)² = m⁶/25 – (4 m³ n)/15 + 4n²/9 c) (1/x² – 2/y²)² = 1/x⁴ – 4/(x² y²) + 4/y⁴ d) (–a^(–5)/7 – b/3)² = a^(–10)/49 + [2a^(–5)b/(21)] + b²/9 e) (m³ – n/2)² = m⁶ – m³·n + n²/4 Cada uno de estos desarrollos respeta la forma general de (A – B)² o (A + B)² según corresponda, realizando correctamente el cuadrado de cada uno de los términos y el doble producto.