r) اوجد القيمة الدقيقة لـ \( 90^{\circ}<\theta<180^{\circ} \) ، \( \cos \theta=-\frac{1}{3} \) ، \( \sin 2 \theta \) إذاكان

لحساب \( \sin 2\theta \) عندما يكون \( \cos \theta = -\frac{1}{3} \) ونطاق \( 90^{\circ}<\theta<180^{\circ} \)، يمكن استخدام العلاقة \( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \). أولاً، نجد \( \sin \theta \) باستخدام علاقة فيثاغورس. بما أن \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \)، يمكننا كتابة: \[ \sin^2 \theta = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] لذا: \[ \sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \] (حيث نأخذ الجذر الموجب لأن \( \sin \theta \) تكون موجبة في الربع الثاني). ثم نجد \( \sin 2\theta \): \[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot -\frac{1}{3} = -\frac{4\sqrt{2}}{9} \] وبذلك، القيمة الدقيقة لـ \( \sin 2\theta \) هي: \[ \sin 2\theta = -\frac{4\sqrt{2}}{9} \]