$$ ( \frac { 1 + i an x } { 1 - i an x } ) ^ { n } = \frac { 1 + i an n x } { 1 - i an n x } $$

Question

$$ ( \frac { 1 + i 	an x } { 1 - i 	an x } ) ^ { n } = \frac { 1 + i 	an n x } { 1 - i 	an n x } $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Această egalitate este o identitate trigonometrică complexă care poate fi demonstrată folosind formulele lui Euler și proprietățile funcțiilor trigonometrice. Să analizăm pas cu pas această identitate:

$$
\left( \frac{1 + i \tan x}{1 - i \tan x} \right)^n = \frac{1 + i \tan (n x)}{1 - i \tan (n x)}
$$

### 1. Reprezentarea în Formă Exponențială

Funcția complexă poate fi exprimată în formă exponențială folosind formula lui Euler:

$$
e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta
$$

Observăm că:

$$
\frac{1 + i \tan x}{1 - i \tan x}
$$

Putem scrie $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$, astfel:

$$
\frac{1 + i \frac{\sin x}{\cos x}}{1 - i \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x + i \sin x}{\cos x - i \sin x} = \frac{e^{i x}}{e^{-i x}} = e^{2i x}
$$

### 2. Ridicarea la Putere

Aplicăm ridicarea la putere $$n$$:

$$
\left( e^{2i x} \right)^n = e^{2i n x}
$$

### 3. Repetarea Procesului pentru $$\tan(n x)$$

Analog, termenul de dreapta se poate scrie astfel:

$$
\frac{1 + i \tan (n x)}{1 - i \tan (n x)} = e^{2i n x}
$$

### 4. Concluzie

Astfel, am demonstrat că:

$$
\left( \frac{1 + i \tan x}{1 - i \tan x} \right)^n = \frac{1 + i \tan (n x)}{1 - i \tan (n x)}
$$

Această identitate generalizează formula lui De Moivre pentru funcțiile trigonometrice complexe și arată o relație elegantă între exponențială complexă și funcția tangentă multiplicativă.
$$ \left( \frac{1 + i \tan x}{1 - i \tan x} \right)^n = \frac{1 + i \tan (n x)}{1 - i \tan (n x)} $$ Această egalitate demonstrează că ridicarea la putere a unei expresii complexe cu tangentă la un anumit exponent rezultă într-o expresie similară cu tangentă multiplicată de același exponent.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

1. Reprezentarea în Formă Exponențială

2. Ridicarea la Putere

3. Repetarea Procesului pentru

4. Concluzie

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Trigonometry Questions