La placa formada por la región limitada por \( y=\sqrt{x} \), el eje \( Y \) y la recta \( y=2 \). ( \( y \) en pies) se sumerge verticalmente en agua, hasta que la recta \( y=2 \) quede 2 pies por debajo del nivel del agua. La fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa es: libras.

Para encontrar la fuerza ejercida por el agua sobre la placa, debemos considerar la presión del agua en función de la profundidad. La profundidad \( h \) de la placa depende de la distancia desde el nivel del agua, que en este caso es 2 pies por debajo de la línea donde \( y = 2 \), a 4 pies por debajo del nivel del agua. La presión \( P \) a una profundidad \( h \) se calcula mediante la fórmula: \[ P = \rho g h \] Donde \( \rho \) es la densidad del agua (aproximadamente \( 62.4 \, \text{lb/ft}^3 \)), \( g \) es la gravedad (que se considera como parte del cálculo en la densidad), y \( h \) es la profundidad medida en pies. En este caso, \( h = 4 \) pies. La fuerza sobre un elemento diferencial de área \( dA \) es: \[ dF = P \cdot dA = \rho g h \cdot dA \] Para determinar el área \( dA \) de un strip horizontal de la placa que tiene un ancho \( w \) y un alto diferencial \( dy \), deberemos parametrizar la forma de la placas. La forma superior está definida por la función \( y = \sqrt{x} \) que se reescribe como \( x = y^2 \) desde \( y = 0 \) hasta \( y = 2 \). Ahora, calculemos el área diferencial: \[ dA = dx \cdot dy = y^2 \cdot dy \] Los límites de integración para \( y \) varían de \( 0 \) a \( 2 \), así que usando la expresión de la presión y el área diferencial: \[ F = \int_0^2 P \cdot dA = \int_0^2 (62.4 \cdot 4) \cdot y^2 \, dy = 249.6 \int_0^2 y^2 \, dy \] Calculamos la integral: \[ \int_0^2 y^2 \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8}{3} \] Entonces, \[ F = 249.6 \cdot \frac{8}{3} = 665.6 \, \text{libras} \] Por lo tanto, la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa es aproximadamente **665.6 libras**.