O Radicals and Quadratic Functions Solving a radical equation with two radicals that simplifies to sqrt \( (\mathrm{x})=\mathrm{a} \) Solve for \( y \), where \( y \) is a real number. \( 5+\sqrt{y}=\sqrt{y+55} \) If there is more than one solution, separate them with commas. If there is no solution, click on "No solution".

Para resolver a equação \( 5+\sqrt{y}=\sqrt{y+55} \), começamos isolando os radicais. Primeiro, subtraímos \( \sqrt{y} \) de ambos os lados: \[ \sqrt{y+55} - \sqrt{y} = 5 \] Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz: \[(\sqrt{y+55} - \sqrt{y})^2 = 5^2\] Expandindo a equação: \[ y + 55 - 2\sqrt{y+55}\sqrt{y} + y = 25 \] Combinando os termos semelhantes, temos: \[ 2y + 55 - 25 = 2\sqrt{y(y+55)} \] Isso se simplifica para: \[ 2y + 30 = 2\sqrt{y(y+55)} \] Dividindo por 2, obtemos: \[ y + 15 = \sqrt{y(y+55)} \] Elevamos ambos os lados ao quadrado novamente: \[ (y + 15)^2 = y(y + 55) \] Expandindo e simplificando: \[ y^2 + 30y + 225 = y^2 + 55y \] Portanto: \[ 30y + 225 = 55y \] Reorganizando dá: \[ 225 = 55y - 30y \] \[ 225 = 25y \] Finalmente, dividindo ambos os lados por 25: \[ y = 9 \] Agora, precisamos verificar se esta solução original é válida. Substituindo \( y = 9 \) na equação original, obtemos: \[ 5 + \sqrt{9} = \sqrt{9 + 55} \] \[ 5 + 3 = \sqrt{64} \] \[ 8 = 8 \] (Válido!) Portanto, a solução para a equação é \( y = 9 \).