$$ y u _ { x } - x u _ { y } = y ^ { 2 } - x ^ { 2 } , \quad u ( 0 , y ) = \frac { 1 } { y ^ { 2 } } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Verilən tənlik və ilkin şərt:

$$
y \frac{\partial u}{\partial x} - x \frac{\partial u}{\partial y} = y^{2} - x^{2}, \quad u(0, y) = \frac{1}{y^{2}}
$$

Bu birinci qaydalı xətti hissəvi diferensial tənlikdir. Həlli üçün xarakteristik metoddan istifadə edəcəyik.

**Xarakteristik Tənliklər:**

$$
\frac{dx}{ds} = y, \quad \frac{dy}{ds} = -x, \quad \frac{du}{ds} = y^{2} - x^{2}
$$

İlkin şərtlərə görə, $$ s = 0 $$ nöqtəsində:

$$
x(0) = 0, \quad y(0) = y_0, \quad u(0) = \frac{1}{y_0^{2}}
$$

**Xarakteristik Xəttlərin Tapılması:**

1. **$$ x(s) $$ və $$ y(s) $$ funksiyalarının tapılması:**

Hər iki tənliyi birləşdirərək:

$$
   \frac{d^2 x}{ds^2} = \frac{d y}{ds} = -x
   $$

Bu harmonik oscillator tənliyidir və ümumi həlli:

$$
   x(s) = A \cos s + B \sin s
   $$
   
   $$
   y(s) = \frac{dx}{ds} = -A \sin s + B \cos s
   $$

İlkin şərtləri tətbiq edərək:

$$
   x(0) = 0 \Rightarrow A = 0
   $$
   
   $$
   y(0) = y_0 \Rightarrow B = y_0
   $$

Beləliklə,

$$
   x(s) = y_0 \sin s
   $$
   
   $$
   y(s) = y_0 \cos s
   $$

2. **$$ u(s) $$ funksiyasının tapılması:**

$$
   \frac{du}{ds} = y^2 - x^2 = y_0^2 \cos^2 s - y_0^2 \sin^2 s = y_0^2 \cos(2s)
   $$

İnteqrasiya edərək:

$$
   u(s) = \frac{1}{y_0^{2}} + y_0^2 \cdot \frac{\sin(2s)}{2}
   $$
   
   Sadələşdirərək:

$$
   u(s) = \frac{1}{x^2 + y^2} + x y
   $$

**Nəticə:**

Beləliklə, tənliyin həlli:

$$
u(x, y) = x y + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}
$$
$$ u(x, y) = x y + \frac{1}{x^{2} + y^{2}} $$

\( y u _ { x } - x u _ { y } = y ^ { 2 } - x ^ { 2 } , \quad u ( 0 , y ) = \frac { 1 } { y ^ { 2 } } \)