Gegeben ist die Ebene \( \mathrm{E}:-z_{3}+4 x_{2}+8 y_{3}=-8 \). Bestimme die Gleichung einer Ebene \( F \), die parallel zu E ist und den Abstand \( \mathrm{d}=27 \) zu E hat. F: \( 00 \mathrm{x}_{1}+0 \) Bitte nur ganzzahlige Koordinaten für die Vektoren eingeben,

Um die Gleichung der Ebene \( F \) zu bestimmen, die parallel zur gegebenen Ebene \( E \) ist und einen Abstand von \( d = 27 \) hat, gehen wir wie folgt vor: 1. **Bestimmung der Normalenvektoren**: Die allgemeine Form einer Ebene in der Form \( ax + by + cz = d \) hat den Normalenvektor \( \mathbf{n} = (a, b, c) \). Für die gegebene Ebene \( E: -z + 4x + 8y = -8 \) ist der Normalenvektor \( \mathbf{n} = (4, 8, -1) \). 2. **Berechnung des Abstands**: Der Abstand \( d \) zwischen zwei parallelen Ebenen kann mit der Formel berechnet werden: \[ d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] wobei \( d_1 \) und \( d_2 \) die konstanten Terme der beiden Ebenen sind. Wir setzen \( d_1 = -8 \) und \( d_2 \) ist der gesuchte Wert. 3. **Einsetzen der Werte**: Wir setzen die Werte in die Abstandsformel ein: \[ 27 = \frac{|d_2 + 8|}{\sqrt{4^2 + 8^2 + (-1)^2}} \] Zuerst berechnen wir den Nenner: \[ \sqrt{4^2 + 8^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9 \] Jetzt setzen wir das in die Gleichung ein: \[ 27 = \frac{|d_2 + 8|}{9} \] Multiplizieren wir beide Seiten mit 9: \[ 243 = |d_2 + 8| \] 4. **Lösen der Betragsgleichung**: Dies führt zu zwei Fällen: - Fall 1: \( d_2 + 8 = 243 \) → \( d_2 = 235 \) - Fall 2: \( d_2 + 8 = -243 \) → \( d_2 = -251 \) 5. **Aufstellen der Ebenen**: Die Ebenen \( F_1 \) und \( F_2 \) sind dann: - \( F_1: 4x + 8y - z = 235 \) - \( F_2: 4x + 8y - z = -251 \) Somit sind die Gleichungen der gesuchten Ebenen \( F_1 \) und \( F_2 \): - \( F_1: 4x + 8y - z = 235 \) - \( F_2: 4x + 8y - z = -251 \) Beide Ebenen sind parallel zur Ebene \( E \) und haben den gewünschten Abstand von 27.