Bereken die waarde van $$ p $$ indien $$ \sum_{k=0}^{\infty} 27 p^{k+1}=\sum_{r=3}^{14}(30-3 r) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

We willen de waarde van $$ p $$ berekenen waarvoor geldt:

$$
\sum_{k=0}^{\infty} 27 p^{k+1} = \sum_{r=3}^{14} (30 - 3r)
$$

**Stap 1: Bereken de linkerkant van de vergelijking**

De linkerkant is een oneindige meetkundige reeks:

$$
\sum_{k=0}^{\infty} 27 p^{k+1} = 27p \sum_{k=0}^{\infty} p^k
$$

Voor $$|p| < 1$$ convergeert de reeks:

$$
\sum_{k=0}^{\infty} p^k = \frac{1}{1 - p}
$$

Dus:

$$
27p \cdot \frac{1}{1 - p} = \frac{27p}{1 - p}
$$

**Stap 2: Bereken de rechterkant van de vergelijking**

De rechterkant is een eindige som:

$$
\sum_{r=3}^{14} (30 - 3r) = 30 \cdot (14 - 3 + 1) - 3 \sum_{r=3}^{14} r
$$

Het aantal termen van $$ r = 3 $$ tot $$ r = 14 $$ is $$ 12 $$:

$$
30 \cdot 12 - 3 \sum_{r=3}^{14} r
$$

De som van opeenvolgende gehele getallen van 3 tot 14 is:

$$
\sum_{r=3}^{14} r = \sum_{r=1}^{14} r - \sum_{r=1}^{2} r = \frac{14 \cdot 15}{2} - \frac{2 \cdot 3}{2} = 105 - 3 = 102
$$

Dus de rechterkant wordt:

$$
30 \cdot 12 - 3 \cdot 102 = 360 - 306 = 54
$$

**Stap 3: Stel de vergelijking op en los op voor $$ p $$**

$$
\frac{27p}{1 - p} = 54
$$

Los dit op:

$$
27p = 54(1 - p) \
27p = 54 - 54p \
81p = 54 \
p = \frac{54}{81} = \frac{2}{3}
$$

**Conclusie:**

De waarde van $$ p $$ is $$ \frac{2}{3} $$.

**Antwoord:**  
De waarde van $$ p $$ is twee derde, dat wil zeggen $$ p = \dfrac{2}{3} $$.
$$ p = \frac{2}{3} $$

Bereken die waarde van \( p \) indien \( \sum_{k=0}^{\infty} 27 p^{k+1}=\sum_{r=3}^{14}(30-3 r) \)