\( y=\sinh (x) \)

双曲正弦函数（\(\sinh(x)\)）的定义及相关性质如下： ### 定义 双曲正弦函数定义为： \[ y = \sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \] 其中，\(e\) 是自然对数的底数，约等于2.71828。 ### 性质 1. **奇函数性质**： \[ \sinh(-x) = -\sinh(x) \] 这意味着双曲正弦函数关于原点对称。 2. **导数**： \[ \frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x) \] 其中，\(\cosh(x)\) 是双曲余弦函数。 3. **反函数**： 双曲正弦函数的反函数称为双曲反正弦函数，记作 \(\sinh^{-1}(x)\)，其定义为： \[ \sinh^{-1}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) \] 4. **幂级数展开**： \[ \sinh(x) = x + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \] 5. **重要恒等式**： \[ \cosh^{2}(x) - \sinh^{2}(x) = 1 \] ### 图像特征 - **对称性**：由于\(\sinh(x)\)是奇函数，其图像关于原点对称。 - **单调性**：\(\sinh(x)\)在整个实数范围内是严格递增的。 - **渐近行为**： - 当 \(x \to +\infty\) 时，\(\sinh(x) \approx \frac{e^{x}}{2} \to +\infty\) - 当 \(x \to -\infty\) 时，\(\sinh(x) \approx -\frac{e^{-x}}{2} \to -\infty\) ### 应用 双曲正弦函数在多个领域有广泛应用，包括但不限于： - **工程学**：例如描述悬链线（链条或电缆在重力作用下的形状）。 - **物理学**：在解决某些微分方程，如热传导方程和波动方程时出现。 - **复变函数**：双曲函数与三角函数在复数域有密切联系，常用于解析函数的研究。 ### 示例 计算 \(\sinh(1)\) 的值： \[ \sinh(1) = \frac{e^{1} - e^{-1}}{2} \approx \frac{2.71828 - 0.36788}{2} \approx \frac{2.3504}{2} \approx 1.1752 \] 希望以上内容能帮助您更好地理解双曲正弦函数。如果您有更多问题，欢迎继续提问！