a) $$ \frac{ an x-\cot x}{ an x+\cot x}=\operatorname{sen}^{2} x-\cos ^{2} x $$

Question

a) $$ \frac{	an x-\cot x}{	an x+\cot x}=\operatorname{sen}^{2} x-\cos ^{2} x $$

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Para demostrar la identidad:

$$
\frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = \sin^{2} x - \cos^{2} x
$$

seguimos los siguientes pasos:

### 1. Expresiones en términos de funciones seno y coseno

Recordemos que:

$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{y} \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
$$

Sustituyendo estas definiciones en la expresión original:

$$
\frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}
$$

### 2. Simplificación del numerador y denominador

**Numerador:**
$$
\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin x \cos x}
$$

**Denominador:**
$$
\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin x \cos x}
$$

### 3. Sustitución en la expresión original

Sustituyendo las simplificaciones del numerador y denominador:

$$
\frac{\frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin x \cos x}} = \frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin^{2} x + \cos^{2} x}
$$

### 4. Aplicando la identidad fundamental de las funciones trigonométricas

Sabemos que:

$$
\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1
$$

Entonces, la expresión se simplifica a:

$$
\frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{1} = \sin^{2} x - \cos^{2} x
$$

### 5. Conclusión

Hemos demostrado que:

$$
\frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = \sin^{2} x - \cos^{2} x
$$
$$ \frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = \sin^{2} x - \cos^{2} x $$

a)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

1. Expresiones en términos de funciones seno y coseno

2. Simplificación del numerador y denominador

3. Sustitución en la expresión original

4. Aplicando la identidad fundamental de las funciones trigonométricas

5. Conclusión

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