a) \( \frac{\tan x-\cot x}{\tan x+\cot x}=\operatorname{sen}^{2} x-\cos ^{2} x \)

Para demostrar la identidad: \[ \frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = \sin^{2} x - \cos^{2} x \] seguimos los siguientes pasos: ### 1. Expresiones en términos de funciones seno y coseno Recordemos que: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \quad \text{y} \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \] Sustituyendo estas definiciones en la expresión original: \[ \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}} \] ### 2. Simplificación del numerador y denominador **Numerador:** \[ \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin x \cos x} \] **Denominador:** \[ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin x \cos x} \] ### 3. Sustitución en la expresión original Sustituyendo las simplificaciones del numerador y denominador: \[ \frac{\frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin x \cos x}} = \frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin^{2} x + \cos^{2} x} \] ### 4. Aplicando la identidad fundamental de las funciones trigonométricas Sabemos que: \[ \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \] Entonces, la expresión se simplifica a: \[ \frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{1} = \sin^{2} x - \cos^{2} x \] ### 5. Conclusión Hemos demostrado que: \[ \frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = \sin^{2} x - \cos^{2} x \]