\( \int _{}^{}\frac{\sqrt {x}}{7x^{5}} d x \)

Para resolver la integral: \[ \int \frac{\sqrt{x}}{7x^{5}} \, dx \] **Paso 1:** Simplificamos la expresión dentro de la integral. \[ \frac{\sqrt{x}}{7x^{5}} = \frac{x^{1/2}}{7x^{5}} = \frac{1}{7} x^{1/2 - 5} = \frac{1}{7} x^{-9/2} \] Así, la integral se convierte en: \[ \frac{1}{7} \int x^{-9/2} \, dx \] **Paso 2:** Integrar \( x^{-9/2} \). La integral de \( x^n \) respecto a \( x \) es \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), siempre que \( n \neq -1 \). \[ \frac{1}{7} \int x^{-9/2} \, dx = \frac{1}{7} \left( \frac{x^{-7/2}}{-7/2} \right) + C \] **Paso 3:** Simplificamos la expresión resultante. \[ \frac{1}{7} \left( \frac{x^{-7/2}}{-7/2} \right) = \frac{1}{7} \cdot \left( -\frac{2}{7} x^{-7/2} \right) = -\frac{2}{49} x^{-7/2} \] **Paso 4:** Expresar la respuesta de forma más sencilla. \[ -\frac{2}{49} x^{-7/2} + C = -\frac{2}{49 \, x^{7/2}} + C = -\frac{2}{49 \sqrt{x^{7}}} + C \] **Respuesta Final:** \[ \int \frac{\sqrt{x}}{7x^{5}} \, dx = -\frac{2}{49} x^{-7/2} + C \] donde \( C \) es la constante de integración.