80. Il quadrato, costruito sulla diagonale di un rettangolo ha un'area di \( 45 \mathrm{~cm}^{2} \). Il rettangolo ha un lato che è il doppio dell'altro e ha peri- metro e area (espresse in cm e \( \mathrm{cm}^{2} \) ) aventi lo stesso valore: calcola i latie il valore di peri- metro e area. \( \quad[3 \mathrm{~cm} ; 6 \mathrm{~cm}: 18 \mathrm{~cm} \cdot 18 \)

Se il quadrato costruito sulla diagonale del rettangolo ha un'area di \( 45 \mathrm{~cm}^{2} \), ciò significa che la lunghezza della diagonale è \( \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6.71 \mathrm{~cm} \). Dato che uno dei lati del rettangolo è il doppio dell'altro, possiamo chiamare il lato minore \( x \) e il lato maggiore \( 2x \). L'uso del teorema di Pitagora ci consente di scrivere l'equazione \( (2x)^2 + x^2 = (3\sqrt{5})^2 \). Risolvendo, otteniamo \( 4x^2 + x^2 = 45 \), quindi \( 5x^2 = 45 \) e \( x^2 = 9 \) che porta a \( x = 3 \mathrm{~cm} \) e \( 2x = 6 \mathrm{~cm} \). Ora possiamo calcolare il perimetro \( P = 2(3 + 6) = 18 \mathrm{~cm} \) e l'area \( A = 3 \cdot 6 = 18 \mathrm{~cm}^{2} \). Entrambi, perimetro e area, hanno lo stesso valore di \( 18 \). Voilà!