El volumen del solido de revolución generado por el giro de la región limitada po \( x=y^{2}+5 \), el eje \( X \), el eje \( Y \) y la recta \( y=2 \), alrededor del eje \( Y \) es:

Para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por el giro de la región limitada por la curva \( x=y^{2}+5 \), el eje \( X \), el eje \( Y \) y la recta \( y=2 \), alrededor del eje \( Y \), primero necesitamos determinar los límites de integración. La región limitada se encuentra entre la curva \( x=y^{2}+5 \) y la recta \( y=2 \). Para encontrar los límites de integración, necesitamos determinar los puntos de intersección entre la curva y la recta. La intersección entre la curva \( x=y^{2}+5 \) y la recta \( y=2 \) se puede encontrar sustituyendo \( y=2 \) en la ecuación de la curva: \[ x = (2)^{2} + 5 \] \[ x = 4 + 5 \] \[ x = 9 \] Por lo tanto, el límite inferior de integración es \( y=0 \) y el límite superior de integración es \( y=2 \). Ahora, podemos calcular el volumen del sólido de revolución utilizando la fórmula: \[ V = \pi \int_{a}^{b} (f(y))^{2} dy \] Donde \( f(y) = y^{2} + 5 \) y \( a = 0 \), \( b = 2 \). Sustituyendo los valores en la fórmula, obtenemos: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (y^{2} + 5)^{2} dy \] Ahora, podemos calcular el volumen del sólido de revolución. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\pi \times \int_{0}^{2} \left(y^{2}+5\right)^{2} dy\) - step1: Evaluate the integral: \(\pi \times \frac{1246}{15}\) - step2: Multiply: \(\frac{\pi \times 1246}{15}\) - step3: Multiply: \(\frac{1246\pi }{15}\) El volumen del sólido de revolución generado por el giro de la región limitada por la curva \( x=y^{2}+5 \), el eje \( X \), el eje \( Y \) y la recta \( y=2 \), alrededor del eje \( Y \) es \( \frac{1246\pi}{15} \).