53.- Найдите область определения функции: \( \begin{array}{ll}\text { а) } y=\frac{\sqrt{3 x-2}}{x^{2}-x-2} ; & \text { б) } y=\frac{\sqrt{x^{2}-3 x-4}}{16-x^{2}} \\ \text { в) } y=\frac{\sqrt{x+2}}{3-2 x} ; & \text { г) } y=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{1-2 x}\end{array} \)

Найдём области определения функций для каждого случая: **а) \( y = \frac{\sqrt{3x - 2}}{x^2 - x - 2} \)** 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 3x - 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{2}{3} \] 2. Знаменатель не должен равняться нулю: \[ x^2 - x - 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2 \quad \text{и} \quad x \neq -1 \] Так как \( x \geq \frac{2}{3} \), исключаем \( x = 2 \). Значит, область определения: \[ x \in \left[ \frac{2}{3}, 2 \right) \cup (2, +\infty) \] --- **б) \( y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4}}{16 - x^2} \)** 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ x^2 - 3x - 4 \geq 0 \] Решаем квадратное неравенство: \[ (x + 1)(x - 4) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 \] 2. Знаменатель не должен равняться нулю: \[ 16 - x^2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 4 \quad \text{и} \quad x \neq -4 \] Таким образом, объединяя условия: \[ x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -1] \cup (4, +\infty) \] --- **в) \( y = \frac{\sqrt{x + 2}}{3 - 2x} \)** 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ x + 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -2 \] 2. Знаменатель не должен равняться нулю: \[ 3 - 2x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{3}{2} \] Область определения: \[ x \in [-2, \frac{3}{2}) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right) \] --- **г) \( y = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{1 - 2x} \)** 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 4 - x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad -2 \leq x \leq 2 \] 2. Знаменатель не должен равняться нулю: \[ 1 - 2x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \frac{1}{2} \] Область определения: \[ x \in [-2, \frac{1}{2}) \cup \left(\frac{1}{2}, 2\right] \]