\begin{tabular}{|l|}\( \begin{array}{l}\text { Pregunta } 02 \\ \text { Considere la función } f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text {, definida por } f(x)=x^{3}+3 x+2\end{array} \) \\ \hline a) Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de \( f \) en el punto \( (0, f(0)) \) \\ (10 puntos) \end{tabular}

Para encontrar la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función \( f(x) = x^{3} + 3x + 2 \) en el punto \( (0, f(0)) \), seguimos los siguientes pasos: ### 1. Calcular \( f(0) \): \[ f(0) = 0^{3} + 3(0) + 2 = 2 \] Entonces, el punto de tangencia es \( (0, 2) \). ### 2. Encontrar la derivada de \( f(x) \), es decir, \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(2) = 3x^{2} + 3 + 0 = 3x^{2} + 3 \] ### 3. Evaluar la derivada en \( x = 0 \) para obtener la pendiente de la recta tangente: \[ f'(0) = 3(0)^{2} + 3 = 0 + 3 = 3 \] La pendiente de la recta tangente es \( m = 3 \). ### 4. Utilizar la fórmula de la recta tangente: La ecuación de la recta tangente en el punto \( (x_0, y_0) \) con pendiente \( m \) es: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] Sustituyendo los valores conocidos \( (x_0, y_0) = (0, 2) \) y \( m = 3 \): \[ y - 2 = 3(x - 0) \] Simplificando: \[ y = 3x + 2 \] ### **Respuesta Final:** La ecuación de la recta tangente al gráfico de \( f \) en el punto \( (0, 2) \) es: \[ y = 3x + 2 \]