\( \int _ { 0 } ^ { \pi } \sec ^ { 2 } x d x \)

Para calcular la integral definida: \[ \int_{0}^{\pi} \sec^{2}x \, dx \] Primero, recordemos que la integral de \(\sec^{2}x\) es: \[ \int \sec^{2}x \, dx = \tan x + C \] Donde \(C\) es la constante de integración. Evaluemos la integral entre los límites de \(0\) y \(\pi\): \[ \left. \tan x \right|_{0}^{\pi} = \tan(\pi) - \tan(0) = 0 - 0 = 0 \] Sin embargo, debemos tener en cuenta que la función \(\sec^{2}x\) tiene asíntotas verticales donde \(\cos x = 0\), es decir, en \(x = \frac{\pi}{2}\). Esto implica que la integral presenta una discontinuidad en este punto. Para abordar esto, descomponemos la integral en dos partes: \[ \int_{0}^{\pi} \sec^{2}x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sec^{2}x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sec^{2}x \, dx \] Evaluemos cada parte por separado: 1. **Primera integral (\(0\) a \(\frac{\pi}{2}\)):** \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan x = +\infty \] 2. **Segunda integral (\(\frac{\pi}{2}\) a \(\pi\)):** \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \tan x = -\infty \] Sin embargo, al evaluar: \[ \tan(\pi) - \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \tan x = 0 - (-\infty) = +\infty \] Ambas partes de la integral tienden a \(+\infty\), lo que indica que la integral original **diverge**. **Conclusión:** La integral \(\int_{0}^{\pi} \sec^{2}x \, dx\) no converge y tiende a infinito.