22) Si $$ \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{3}{5} y \cos (\beta)=\frac{5}{13} $$, sabiendo que $$ \alpha $$ y $$ \beta $$ son ángulos del primer cuadrante. Calcular el valor de $$ \cos (\alpha+\beta) $$. A. $$ +\frac{16}{63} $$ B. $$ +\frac{63}{65} $$ C. $$ -\frac{63}{65} $$ D. $$ -\frac{16}{65} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para calcular $$ \cos(\alpha + \beta) $$, utilizamos la fórmula de la suma de ángulos:

$$
\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta
$$

Dado que:
$$
\sin\alpha = \frac{3}{5} \quad \text{y} \quad \cos\beta = \frac{5}{13}
$$
y sabiendo que ambos ángulos están en el primer cuadrante (donde todas las funciones trigonométricas son positivas), podemos encontrar $$ \cos\alpha $$ y $$ \sin\beta $$:

$$
\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
$$

$$
\sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}
$$

Ahora sustituimos estos valores en la fórmula de la suma de ángulos:

$$
\cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) - \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{16}{65}
$$

**Respuesta correcta:**

**D. $$ -\frac{16}{65} $$**
El valor de $$ \cos(\alpha + \beta) $$ es $$ -\frac{16}{65} $$, por lo que la respuesta correcta es **D. $$ -\frac{16}{65} $$**.

Si , sabiendo que y son ángulos del primer cuadrante.
Calcular el valor de .
A.
B.
C.
D.

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Si , sabiendo que y son ángulos del primer cuadrante. Calcular el valor de . A. B. C. D.