22) Si \( \operatorname{sen}(\alpha)=\frac{3}{5} y \cos (\beta)=\frac{5}{13} \), sabiendo que \( \alpha \) y \( \beta \) son ángulos del primer cuadrante. Calcular el valor de \( \cos (\alpha+\beta) \). A. \( +\frac{16}{63} \) B. \( +\frac{63}{65} \) C. \( -\frac{63}{65} \) D. \( -\frac{16}{65} \)

Para calcular \( \cos(\alpha + \beta) \), utilizamos la fórmula de suma de ángulos: \[ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) \] Dado que \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \), podemos encontrar \( \cos(\alpha) \) utilizando la identidad \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \): \[ \cos(\alpha) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Para \( \beta \), sabemos que \( \cos(\beta) = \frac{5}{13} \). Usamos también la identidad para \( \sin(\beta) \): \[ \sin(\beta) = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \] Ahora, sustituyamos en la fórmula para \( \cos(\alpha + \beta) \): \[ \cos(\alpha + \beta) = \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) - \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) \] Calculamos cada término: \[ = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = \frac{20 - 36}{65} = \frac{-16}{65} \] Por lo tanto, el valor de \( \cos(\alpha + \beta) \) es \( -\frac{16}{65} \), lo que corresponde con la opción D.