9) Determina el dominio, la simetría y los límites de las siguientes funciones: $$ \begin{array}{ll}\text { a) } f(x)=\sqrt{\frac{x}{x^{2}-4}} & \text { b) }\end{array} $$

Question

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Claro, vamos a analizar la función dada:

$$ f(x) = \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 4}} $$

### a) Dominio, Simetría y Límites de $$ f(x) $$

#### **Dominio**

El dominio de la función se determina por dos condiciones:

1. **El denominador no puede ser cero:**
   $$
   x^{2} - 4 \neq 0 \implies x \neq 2 \quad \text{y} \quad x \neq -2
   $$

2. **El argumento de la raíz cuadrada debe ser no negativo:**
   $$
   \frac{x}{x^{2} - 4} \geq 0
   $$

Analizando la desigualdad:

- Factorizamos el denominador:
  $$
  x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)
  $$
  
- Encontramos los puntos críticos: $$ x = -2 $$, $$ x = 0 $$ y $$ x = 2 $$.

- Evaluamos los signos en los intervalos determinados por estos puntos:
  
  - **Intervalo $$ (-\infty, -2) $$:** $$ \frac{x}{x^{2} - 4} < 0 $$ (No incluido)
  - **Intervalo $$ (-2, 0] $$:** $$ \frac{x}{x^{2} - 4} \geq 0 $$ (Incluido)
  - **Intervalo $$ (0, 2) $$:** $$ \frac{x}{x^{2} - 4} < 0 $$ (No incluido)
  - **Intervalo $$ (2, +\infty) $$:** $$ \frac{x}{x^{2} - 4} \geq 0 $$ (Incluido)

Por lo tanto, el **dominio** de $$ f(x) $$ es:
$$
\boxed{D(f) = (-2,\, 0\,] \,\cup\, (2,\, +\infty)}
$$

#### **Simetría**

Para determinar la simetría de la función, evaluamos $$ f(-x) $$:

$$
f(-x) = \sqrt{\frac{-x}{(-x)^{2} - 4}} = \sqrt{\frac{-x}{x^{2} - 4}}
$$

Comparando con $$ f(x) $$:
- $$ f(-x) \neq f(x) $$ (no es par)
- $$ f(-x) \neq -f(x) $$ (no es impar)

Por lo tanto, la función **no presenta simetría** respecto al eje y ni al origen.

#### **Límites**

Analizamos los límites relevantes de la función $$ f(x) $$:

1. **Cuando $$ x \to -2^{+} $$:**
   $$
   \lim_{x \to -2^{+}} f(x) = +\infty
   $$
   
2. **Cuando $$ x \to 0 $$:**
   $$
   \lim_{x \to 0} f(x) = 0
   $$
   
3. **Cuando $$ x \to 2^{+} $$:**
   $$
   \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = +\infty
   $$
   
4. **Cuando $$ x \to +\infty $$:**
   $$
   \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0
   $$
   
5. **Cuando $$ x \to -\infty $$:**
   - La función no está definida para $$ x < -2 $$, por lo que no existe el límite.

### **Resumen**

- **Dominio:** $$ D(f) = (-2,\, 0\,] \,\cup\, (2,\, +\infty) $$
- **Simetría:** No es par ni impar.
- **Límites:**
  - $$ \lim_{x \to -2^{+}} f(x) = +\infty $$
  - $$ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $$
  - $$ \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = +\infty $$
  - $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $$
El dominio de la función $$ f(x) = \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 4}} $$ es $$ (-2,\, 0\,] \,\cup\, (2,\, +\infty) $$. La función no es simétrica. Los límites son: - Cuando $$ x \to -2^{+} $$, $$ f(x) \to +\infty $$ - Cuando $$ x \to 0 $$, $$ f(x) \to 0 $$ - Cuando $$ x \to 2^{+} $$, $$ f(x) \to +\infty $$ - Cuando $$ x \to +\infty $$, $$ f(x) \to 0 $$

9) Determina el dominio, la simetría y los límites de las siguientes funciones: \[ \begin{array}{ll}\text { a) } f(x)=\sqrt{\frac{x}{x^{2}-4}} & \text { b) }\end{array} \]

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