Fie \( A: \mathbf{C}^{3} \rightarrow \mathbf{C}^{3}, A(x)=\left(0, x_{2}+5 x_{3},-5 x_{2}+x_{3}\right) \) pentru orice \( x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{C}^{3} \). Să se determine: matricea asociată operatorului \( A \) în raport cu baza canonică a lui \( \mathbf{R}^{3} \), polinomul caracteristic, valorile proprii şi multiplicităţile algebrice ale acestora; subspaţiile de vectori proprii corespunzători şi multiplicităţile geometrice ale valorilor proprii. Este \( A \) diagonalizabil? În caz afirmativ să se precizeze forma diagonală şi baza în care \( A \) are această formă diagonală.

Pentru a rezolva problema, vom urma pașii necesari pentru a determina matricea asociată operatorului \( A \), polinomul caracteristic, valorile proprii, subspațiile de vectori proprii și vom verifica dacă operatorul \( A \) este diagonalizabil. ### Pasul 1: Determinarea matricei asociate operatorului \( A \) Operatorul \( A \) este definit prin: \[ A(x) = \left(0, x_{2} + 5x_{3}, -5x_{2} + x_{3}\right) \] unde \( x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) \). Matricea asociată operatorului \( A \) în raport cu baza canonică a lui \( \mathbf{C}^{3} \) se obține prin aplicarea operatorului \( A \) asupra vectorilor bazei canonice: 1. \( e_1 = (1, 0, 0) \) \[ A(e_1) = A(1, 0, 0) = (0, 0, 0) \] 2. \( e_2 = (0, 1, 0) \) \[ A(e_2) = A(0, 1, 0) = (0, 1, -5) \] 3. \( e_3 = (0, 0, 1) \) \[ A(e_3) = A(0, 0, 1) = (0, 5, 1) \] Astfel, matricea asociată \( A \) este: \[ M_A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & -5 & 1 \end{pmatrix} \] ### Pasul 2: Determinarea polinomului caracteristic Polinomul caracteristic se determină prin calcularea determinantului \( \det(M_A - \lambda I) \), unde \( I \) este matricea identitate și \( \lambda \) este o valoare proprie. Calculăm: \[ M_A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & 5 \\ 0 & -5 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \] Determinantul este: \[ \det(M_A - \lambda I) = -\lambda \det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 5 \\ -5 & 1 - \lambda \end{pmatrix} \] Calculăm determinantul submatricei: \[ \det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 5 \\ -5 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)(1 - \lambda) - (-5)(5) = (1 - \lambda)^2 + 25 \] Astfel, avem: \[ \det(M_A - \lambda I) = -\lambda \left((1 - \lambda)^2 + 25\right) \] Polinomul caracteristic este: \[ p(\lambda) = -\lambda \left((1 - \lambda)^2 + 25\right) \] ### Pasul 3: Determinarea valorilor proprii și multiplicităților algebrice Pentru a găsi valorile proprii, rezolvăm ecuația \( p(\lambda) = 0 \): 1. \( -\lambda = 0 \) ⇒ \( \lambda_1 = 0 \) (multiplicitate algebrică 1) 2. \( (1 - \lambda)^2 + 25 = 0 \) ⇒ \( (1 - \lambda)^2 = -25 \) ⇒ \( 1 - \lambda = \pm 5i \) Deci, valorile proprii sunt: - \( \lambda_2 = 1 + 5i \) (multiplicitate algebrică 1) - \( \lambda_3 = 1 - 5i \) (multiplicitate algebrică 1) ### Pasul 4: Determinarea subspațiilor de vectori proprii Pentru fiecare valoare proprie, vom determina subspațiile de vectori proprii. 1. **Pentru \( \lambda_1 = 0 \)**: \[ M_A - 0I = M_A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & -5 & 1 \end{pmatrix} \] Rezolvăm sistemul \( M_A v = 0 \): \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & -5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Obținem \( x_2 + 5x_3 = 0 \) și \( -5x_2 + x_3 = 0 \). Rezolvând, găsim: \[ x_2 = -5x_3 \quad \text{și} \quad x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = 0 \] Deci, vectorii proprii corespunzători lui \( \lambda_1 = 0 \) sunt de forma \( (x_1, 0, 0) \). Subspațiul este generat de \( (1, 0, 0) \) (multiplicitate geometrică 1). 2. **Pentru \( \lambda_2 = 1 + 5i \)**: \[ M_A - (1 + 5i)I = \begin{pmatrix} -1 - 5i & 0 & 0 \\ 0 & -5i & 5 \\ 0 & -5 & -5i \end{pmatrix} \] Rezolvăm sistemul \( (M_A - (1 + 5i)I)v = 0 \). 3. **Pentru \( \lambda_3 = 1 - 5i \)**: \[ M_A - (1 - 5i)I = \begin{pmatrix} -1 + 5i & 0 & 0 \\ 0 & 5i