Démontrez que \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) en utilisant les identités trigonométriques de base.

Pour démontrer l'identité \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), nous utiliserons les formules trigonométriques de base, notamment la formule de l'addition des angles pour le sinus. **Étape 1 : Utiliser la formule de l'addition pour le sinus** La formule de l'addition des angles pour le sinus est donnée par : \[ \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \] **Étape 2 : Appliquer la formule pour \( \sin(2x) \)** Nous substituons \( a = x \) et \( b = x \) dans la formule : \[ \sin(2x) = \sin(x + x) = \sin(x)\cos(x) + \cos(x)\sin(x) \] **Étape 3 : Simplifier l'expression** En combinant les termes similaires, nous obtenons : \[ \sin(2x) = \sin(x)\cos(x) + \sin(x)\cos(x) = 2\sin(x)\cos(x) \] **Conclusion** Ainsi, nous avons démontré que : \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \] Cette identité est une conséquence directe de la formule de l'addition des angles pour le sinus.